Технически Университет

Многостъпкови числени методи

При многостъпковите методи намирането на следващата точка става с по – малко пресмятания, но изискват итерации за постигане на по – голяма точност. В голямата си част тези методи се наричат предикторно – коректорни методи. Характерни за многостъпковите методи са някой трудности при организирането на итерациите, но основно предимство са получените оценки за допуснатата грешка заедно с резултатите.

Метод на Адамс

Екстраполационен метод на Адамс.

При решаване на ДУ по метод Рунге-Кута е необходимо да се направят много изчисления за да се определи всяко y_i.В случаите,когато дясната част на уравнението представлява сложен аналитичен израз,решаването му по метод Рунге-Кута предизвиква големи трудности.Поради това на практика в тези случаи се използва метода на Адамс,който не изисква многократно преизчисляване на дясната част на ДУ.

Постановка на задачата.

Да се намери решение на ДУ от вида :

, в интервала [a,b]

Същност на метода - интервалът [a,b] се разбива на 'n’ равни подинтервала в точките (i=0,1,2,…,n)

Избира се интервала [] и в него се интегрира ДУ.В резултат на това се получава:

или

За да се намери производната се използва втората интерполационна формула на Нютон (ограничена до трети ред).Или :

След заместване в горния израз се получава:

Замества се v в израза за като се полага :

Полага се:

Тогава за произволна разлика се получава :

Последното уравнение е точно екстрaполационната формула на Адамс. Решението тогава на ДУ е :

В началото на изчислителния процес са необходими четири начални стойности: y₀, y₁, y₂, y₃, които могат да се намерят изхождайки от НУ, използвайки някои от известните методи- най-често по метод на Рунге-Кута. Като се знаят тези стойности може да се определи:

; ;

След това се съставя таблица на разликите на величините q

Същността на метода на Адамс се състои в продължение на диагоналната таблица на разликите. Използват се числата , които са разположени в таблицата по диагонала.

i	x_i	y_i	∆y_i	y_i’=f(x_i,y_i)	q=h.y_i’	∆q_i	∆²q_i	∆³q_i
(1)	(2)	(3)	(4)	(5)	(6)	(7)	(8)	(9)
0	x₀	y₀		f(x₀,y₀)	q₀	∆q₀	∆²q₀	∆³q₀
1	x₁	y₁		f(x₁,y₁)	q₁	∆q₁	∆²q₁	∆³q₁
2	x₂	y₂		f(x₂,y₂)	q₂	∆q₂	∆²q₂
3	x₃	y₃	∆y₃	f(x₃,y₃)	q₃	∆q₃
4	x₄	y₄	∆y₄	f(x₄,y₄)	q₄
5	x₅	y₅
6	x₆	y₆

Получената стойност се записва в таблицата и се определя . След това, използвайки и намерената стойност се определя , т.е.се получава новия диагонал.По тези данни се определя:

По такъв начин , продължавайки таблицата на решенията, дясната част на ДУ на всеки етап се изчислява само веднъж.

Оценка на грешката на метода – за груба оценка на грешката се използва принципа на Рунге, който включва :

- намира се решението на ДУ при стъпка

- удвоява се стъпката h и се намира решение на ДУ при стъпка H=2h.

- изчислява се грешката на метода по :

- стойността на приблизителното решение при стъпка , a е приблизителното решение при стъпка .

Забележка: При изчисляване със стъпка се предполага, че на всяка стъпка се допуска грешка, пропорционална на , със стъпка - пропорционална ,ако порядъка на точността на метода е определен и равен на .

Характерно е ,че в екстраполационната формула на Адамс третите крайни разлики се приемат за постоянни.Поради това началната стъпка може да се определи от неравенството , където е зададената точност при решаване.

На практика , следейки третите крайни разлики, се избира така , че следните разлики и да се различават помежду си с не повече от 1,2 единици от зададения разряд.

Приложимост на метода – използва се и за решаване на система ДУ и ДУ от ‘n’-ти ред. При зададена система от 2 ДУ :

екстраполационната формула на Адамс ще има вида :

където:

Метод на Милн

Методът на Милн, както и този на Рунге-Кута са методи с повишена точност.

В интервала [a,b] трябва да се намери числено решение на ДУ:

при следното НУ: ако ,

Същност на метода – интервалът [a,b] се разбива на равни части с точките (i=0,1,2,…,n) , където -стъпка.

Като се използват началните данни , се намират по произволен начин: .По такъв начин вече са известни (i=0,1,2,3)

Приближителните стойности и за следващите се определят последователно по формулите на Милн:

, където

За извеждането на тези формули се използва първата интерполационна формула на Нютон за производната в произволно избрана точка ().При това става ограничаване от разликите от III^ти ред или това е равносилно на това, че интеграла на ДУ се апроксимира с многочлен от IV^а степен.

Разкриват се скобите и се получава:

където:

Полага се в горното съотношение к=i-4 и се получава :

Интегрира се горното равенство по в интервала или:

Като се отчете,че и то:

, , .

Като се заместят тези изрази в горната зависимост се получава:

За извеждане на втората формула на Милн се полага к=i-2.

където:

Интегрира се горното равенство по в границите или:

Като се отчете,че , то се получава втората формула на Милн:

Оценка на грешката на метода:

Може да се докаже, че абсолютната грешка на стойността приблизително е :

Поради това ако то може да се положи и като зададената гранична грешка на решението.Това има смисъл само ако и съвпадат с десетичните знаци,които са взети под внимание в пресмятането.Ако горното условие се удовлетворява, то се преминава към изчисляване на следващата стойност , като се повтаря процеса.В противен случай стъпката се намалява.